Question

3．如图，在?ABCD中，点E在BC上，连接AE，点F在AE上，BF的延长线交射线CD于点G．

（1）若点E是BC边上的中点，且$\frac{AF}{FE}$=4，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（2）若点E是BC边上的中点，且$\frac{AF}{FE}$=m（m＞0），求$\frac{CD}{CG}$的值．（用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）探究三：若$\frac{BE}{EC}$=n（n＞0），且$\frac{AF}{FE}$=m（m＞0），请直接写出$\frac{CD}{CG}$的值（不写解答过程）．

Answer 1

分析 （1）过点E作EH∥AB交BG于H，先证明△ABF∽△EHF，则$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{FE}$=4，所以AB=4EH；同理证明△BHE∽△BGC，得CG=2EH，所以$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}=\frac{4EH}{2EH}$=2；
（2）由（1）得$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{FE}$=m，$\frac{EH}{CG}=\frac{1}{2}$，将（1）中的4换成m，代入计算即可得出结论：$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}$=$\frac{mEH}{2EH}$=$\frac{m}{2}$；
（3）先由△ABF∽△EHF，则$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{FE}$=m，所以AB=mEH；再由△BHE∽△BGC，得CG=$\frac{1+n}{n}$EH，代入可得结论：$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{mEH}{\frac{1+n}{n}EH}$=$\frac{mn}{1+n}$．

解答 解：（1）如图1，过点E作EH∥AB交BG于H，
∴∠FAB=∠FEH，∠ABF=∠EHF，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{FE}$=4，
∴AB=4EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD∥EH，AB=CD，
∴∠BHE=∠BGC，∠BEH=∠BCG，
∴△BHE∽△BGC，
又∵E是BE的中点，
∴$\frac{EH}{CG}=\frac{1}{2}$，
∴CG=2EH，
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}=\frac{4EH}{2EH}$=2；
（2）由（1）得$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{FE}$=m，$\frac{EH}{CG}=\frac{1}{2}$，
∴AB=mEH，CG=2EH，
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}$=$\frac{mEH}{2EH}$=$\frac{m}{2}$；
（3）如图2，过点E作EH∥AB交BG于H，
则△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{FE}$=m，
∴AB=mEH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD∥EH，AB=CD，
∴∠BHE=∠BGC，∠BEH=∠BCG，
∴△BHE∽△BGC，
∴$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}$，
∵$\frac{BE}{EC}$=n，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{n}{1+n}$，
∴$\frac{EH}{CG}$=$\frac{n}{1+n}$，
∴CG=$\frac{1+n}{n}$EH，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{mEH}{\frac{1+n}{n}EH}$=$\frac{mn}{1+n}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，常用的相似判定有两角对应相待的两三角形相似和平行的相似判定，根据比例式与已知条件列式解决问题．