Question

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．
（1）求证：DE⊥DM；
（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用角边角可得△DCE≌△MDA，那么可得DE=DM，∠EDC=∠MDA，进而根据∠ADC=90°可得DE⊥DM；
（2）先证明四边形CFMD是平行四边形，得出DM=CF，DM∥CF，再证明四边形DENM都是矩形，得出EN=DM，EN∥DM，得出CF=EN，CF∥EN，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，
在△DCE和△MDA中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠DCE=∠DAM}\\{CE=AM}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△MDA（SAS），
∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．
又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠MDA=90°，
∴DE⊥DM；
（2）解：四边形CENF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BF=AM，
∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，
即MF=CD，
又∵F在AB上，点M在BA的延长线上，
∴MF∥CD，
∴四边形CFMD是平行四边形，
∴DM=CF，DM∥CF，
∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，
∴四边形DENM都是矩形，
∴EN=DM，EN∥DM，
∴CF=EN，CF∥EN，
∴四边形CENF为平行四边形．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．