Question

已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，

BC

CD

=

3

2

，E是AB的中点，tanD=2，CE=1，求sin∠ECB和AD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形,勾股定理

专题：

分析：先由AC⊥BD，E是AB的中点，CE=1，得出AB=2CE=2，BE=CE．由

BC

CD

=

3

2

，可设BC=3x，CD=2x，在Rt△ACD中，由tanD=

AC

CD

=2，得出AC=2CD=4x．在Rt△ABC中由勾股定理求得AB=5x，由BE=CE，得出∠ECB=∠B，于是利用正弦函数的定义得出sin∠ECB=sinB=

AC

AB

=

4x

5x

=

4

5

．由AB=5x=2，得出x=

2

5

，那么由勾股定理得出AD=

AC2+CD2

=2

5

x，将x=

2

5

代入计算即可．

解答：解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∵E是AB的中点，CE=1，
∴AB=2CE=2，BE=CE．
∵

BC

CD

=

3

2

，
∴设BC=3x，CD=2x，
∵在Rt△ACD中，tanD=2，
∴

AC

CD

=2，
∴AC=2CD=4x．
在Rt△ABC中由勾股定理，得AB=5x，
∵BE=CE，
∴∠ECB=∠B，
∴sin∠ECB=sinB=

AC

AB

=

4x

5x

=

4

5

．
∵AB=5x=2，
∴x=

2

5

，
∴AD=

AC2+CD2

=

(4x)2+(2x)2

=2

5

x=2

5

×

2

5

=

4 5

5

．

点评：本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．设BC=3x后利用勾股定理求得AB=5x是解题的关键．