Question

正方形ABCD的边长为3，点P是BC中点，将直线AP绕A点旋转45°后与直线CD交于点Q，则CQ=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：分类讨论

分析：先根据线段的中点的定义求出BP=PC=1.5，再分①直线AP逆时针旋转时，把△ABP逆时针旋转90°得到△ADE，根据旋转的性质可得AE=AP，DE=BP，∠DAE=∠BAP，然后求出∠QAE=45°，从而得到∠PAQ=∠QAE，再利用“边角边”证明△APQ和△AEQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PQ=QE，设CQ=x，表示出PQ，再利用勾股定理列出方程求解即可；②直线AP顺时针旋转时，设直线AP与直线CB相交于点P′，把△ABP′绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，根据旋转的性质可得AE=AP′，DE=BP′，∠DAE=∠BAP′，然后求出∠PAE=45°，从而得到∠PAE=∠PAP′，然后利用“边角边”证明△APP′和△APE全等，根据全等三角形对应边相等可得PP′=PE，设BP′=x，表示出PE、CE，然后在Rt△PCE中，利用勾股定理列出方程求出x，再求出CP′，然后利用∠AP′B的正切值列式求解即可．

解答：解：∵点P是BC中点，
∴BP=PC=

1

2

BC=

1

2

×3=1.5，
①直线AP逆时针旋转时，如图1，
把△ABP逆时针旋转90°得到△ADE，
由旋转的性质得，AE=AP，DE=BP，∠DAE=∠BAP，
∵旋转角为45°，
∴∠PAQ=45°，
∴∠QAE=∠DAE+∠DAQ=∠BAP+∠DAQ=90°-45°=45°，
∴∠PAQ=∠QAE，
在△APQ和△AEQ中，

AP=AE ∠PAQ=∠QAE AQ=AQ

，
∴△APQ≌△AEQ（SAS），
∴PQ=QE，
设CQ=x，则PQ=3-x+1.5=4.5-x，
在Rt△CPQ中，PC²+CQ²=PQ²，
即1.5²+x²=（4.5-x）²，
解得x=2，
∴CQ=2；
②直线AP顺时针旋转时，如图2，
设直线AP与直线CB相交于点P′，把△ABP′绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
由旋转的性质得，AE=AP′，DE=BP′，∠DAE=∠BAP′，
∵旋转角为45°，
∴∠PAP′=45°，
∴∠PAE=90°-45°=45°，
∴∠PAE=∠PAP′，
在△APP′和△APE中，

AP′=AE ∠PAE=∠PAP′ AP=AP

，
∴△APP′≌△APE（SAS），
∴PP′=PE，
设BP′=x，则PE=x+1.5，CE=CD-DE=3-x，
在Rt△PCE中，PC²+CE²=PE²，
即1.5²+（3-x）²=（x+1.5）²，
解得x=1，
∴CP′=1+3=4，
∴tan∠AP′B=

AB

BP′

=

CQ

CP′

，
即

3

1

=

CQ

4

，
解得CQ=12，
综上所述，CQ=2或12．
故答案为：2或12．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记旋转的性质并作辅助线构造成全等三角形并在直角三角形中利用勾股定理列出方程是解题的关键，难点在于分情况讨论．