Question

10．根据要求，解答下列问题：
①方程x²-2x+1=0的解为x₁=x₂=1；
②方程x²-3x+2=0的解为x₁=1，x₂=2；
③方程x²-4x+3=0的解为x₁=1，x₂=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x²-9x+8=0的解为1、8；
②关于x的方程x²-（1+n）x+n=0的解为x₁=1，x₂=n．
（3）请用配方法解方程x²-9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x²-9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x₁=1，x₂=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．
（3）利用配方法解方程x²-9x+8=0可判断猜想结论的正确．

解答 解：（1）①（x-1）²=0，解得x₁=x₂=1，即方程x²-2x+1=0的解为x₁=x₂=1，；
②（x-1）（x-2）=0，解得x₁=1，x₂=2，所以方程x²-3x+2=0的解为x₁=1，x₂=2，；
③（x-1）（x-3）=0，解得x₁=1，x₂=3，方程x²-4x+3=0的解为x₁=1，x₂=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x²-9x+8=0的解为x₁=1，x₂=8；
②关于x的方程x²-（1+n）x+n=0的解为x₁=1，x₂=n．
（3）x²-9x=-8，
x²-9x+$\frac{81}{4}$=-8+$\frac{81}{4}$，
（x-$\frac{9}{2}$）²=$\frac{49}{4}$
x-$\frac{9}{2}$=±$\frac{7}{2}$，
所以x₁=1，x₂=8；
所以猜想正确．
故答案为x₁=x₂=1；x₁=1，x₂=2；x₁=1，x₂=3；x²-（1+n）x+n=0；

点评 本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．