Question

6．如图，直角梯形ABCD中，AE∥CD，∠E=90°，AE=CE=12，M为EC上一点，若∠MAD=45°，DM=10，求EM的长．

Answer 1

分析 过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长CF到G使FG=EM，首先证明△AEM≌△ADG，得到∠MAD=∠DAG，AM=AG，然后再证明△ADM≌△ADG，从而得到DG=MD=10，设AE=x，在Rt△MDC中，由勾股定理得到关于x的方程，然后解方程求得EM的值即可．

解答 解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长CF到G使FG=EM．

∵AE∥DC，
∴∠E=∠C=90°．
∵AF⊥DC，
∴∠AFC=90°．
∴四边形AECD为矩形．
∵AE=EC，
∴四边形AECD为正方形．
∴AF=AE．
在△AEM和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠E=∠AFG}\\{EM=FG}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ADG．
∴∠EAM=∠FAG，AM=AG．
∵∠MAD=45°，
∴∠EAM+∠DAF=45°．
∴∠DAF+∠FAG=45°．
∴∠MAD=∠DAG．
在△ADM和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AG}\\{∠MAD=∠GAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADG．
∴DG=MD=10．
设AE=x，则DF=10-x，DC=12-（10-x）=2+x，MC=12-x．
在Rt△MDC中，由勾股定理得：MD²=MC²+DC²，即10²=（2+x）²+（12-x）²．
解得：x₁=4，x₂=6．
∴EM=4或ME=6．

点评 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质，证得△ADM≌△ADG是解题的关键．