Question

12．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠1=∠B．
（1）求证：∠2=∠3；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AB=4，AD=3$\sqrt{3}$，AE=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC   AB∥CD，根据平行线的性质、三角形内角和定理证明即可；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（3）根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC   AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，
∵∠1+∠AFD=180，∠1=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴∠2=∠3；
（2）由（1）得∠2=∠3，∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC，
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{CD}$，即$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{AF}{4}$，
解得，AF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．