Question

18．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AO=CO．

Answer 1

分析 （1）先根据等式的性质得出BE=DF，再根据HL证明△ABE与△CDF全等即可；
（2）根据△ABE与△CDF全等得出AE=CF，再利用AAS证明△AEO与△CFO全等，即可得出AO=CO．

解答 证明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在RT△ABE与RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△CDF（HL）；
（2）∵RT△ABE≌RT△CDF，
∴AE=CF，
在△AEO与△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AO=CO．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BE=DF．