Question

2．如图，正方形ABCD的边长为4，AE=EB，MN=2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，△ADE与△CMN相似．

Answer 1

分析 根据AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM与AE和AD是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．

解答 解：∵AE=EB，
∴AD=2AE，
又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，
∴分两种情况：
①CM与AD是对应边时，CM=2CN，
∴CM²+CN²=MN²=4，
即CM²+$\frac{1}{4}$CM²=1，
解得：CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②CM与AE是对应边时，CM=$\frac{1}{2}$CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+4CM²=1，
解得：CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
综上所述：当CM为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，△AED与△CMN相似．
故答案是：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；主要利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解．