Question

4．如图，在正方形ABCD内部有一点P，AP=1，BP═2，DP=$\sqrt{2}$，将△APD沿AP所在直线翻折得到△APD₁，且AD₁与BP、BD分别交于E、O两点，PD₁与BD交于点F，下列结论：①∠BPD=135°；②BC=$\sqrt{5}$；③连接EF，则EF=$\frac{1}{2}$；④S_△DBP=$\frac{2}{3}$S_△ABP；其中正确的结论有①②③（填番号）

Answer 1

分析 用旋转作出辅助线，先求出PP'，再判断出∠PP'B=90°，即可得出①正确，从而判断出∠APB=90°，即可求出BC，得出②正确，利用三角形的面积公式和面积和差，求出三角形BPD的面积和三角形APB的面积，得出④错误，利用面积和，求出FH=$\frac{1}{2}$，再判断出点E，H重合，即可得出③正确．

解答 解：如图，将△APD绕点A顺时针旋转90°落在△AP'B，
∴AP'=AP=1，BP'=PD=$\sqrt{2}$，∠AP'B=∠APD=∠PAP'=90°，
∴PP'=$\sqrt{2}$，∠APP'=45°，
∴PP'²+P'B²=PB²，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=90°，∠BPP'=45°，
∴∠AP'B=135°，∠APB=90°，
∴∠APD=135°，
∴∠BPD=360°-∠APB-∠APD=360°-90°-135°=135°，故①正确，
∴BC=AB=$\sqrt{A{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$，故②正确，
∴S_{正方形ABCD}=5，
∴S_△ABD=$\frac{5}{2}$，
∵S_△APD+S_△APB=S_△AP'B+S_△APB=S_△APP'+S_△BPP'=$\frac{1}{2}$AP²+$\frac{1}{2}$BP'²=$\frac{1}{2}$AP²+$\frac{1}{2}$DP²=$\frac{1}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∴S_△BPD=S_△ABD-（S_△APD+S_△APB）=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$×AP×BP=1，
∴S_△DBP=S_△ABP，故④错误，
如图2，
由折叠得，∠APD=∠APD₁=135°，
∵∠APB=90°，
∴∠BPF=45°，
∴∠DPD₁=90°
过点F作FH⊥BP，
∴PH=FH，
∴PF=$\sqrt{2}$FH，
∴S_△BPD=S_△FBP+S_△FDP
=$\frac{1}{2}$×BP×FH+$\frac{1}{2}$×PD×PF
=$\frac{1}{2}$BP×FH+$\frac{1}{2}$PD×$\sqrt{2}$FH
=$\frac{1}{2}$×2FH+$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}FH$=1，
∴PH=FH=$\frac{1}{2}$，
连接DD₁，由折叠知，PD₁=PD=$\sqrt{2}$，
∵∠DPD₁=90°，
∴∠DD₁P=45°=∠BPF，DD₁=2=BP，
∵∠BFP=∠DFD₁，
∴△BFP≌△DFD1，
∴PF=D₁F=$\frac{1}{2}$PD₁=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ADP+∠DAP=45°，∠ADP+∠BDP=45°，
∴∠DAP=∠BDP=∠D₁AP，
∵∠APE=∠DPF，
∴△APE∽△DPF，
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{PE}{PF}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{PE}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$，
∵PH=$\frac{1}{2}$，
∴点E和H重合，
∴EF=FH=$\frac{1}{2}$，∴③正确．
故答案为：①②③正确．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的判断，三角形的面积公式，是一道涉及知识点比较多的综合难题．