Question

13．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，∠ADB=90°．
（1）如图1，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，
①求证：∠ACB=45°．
②若BF：CF=2：3，BD与AF交于G点，求线段AG：GF的值；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点F，BF=2，DE=3，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）①如图1，连接CD，根据DE是AC的中垂线，得AD=DC，则∠DAC=∠ACD，所以∠DBC=∠DCB，根据三角形的内角和得：2∠ACD+2∠DCB=90°，则∠ACD+∠DCB=45°，从而得出结论；
②如图2，如图2，由AF=FC得$\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$，过G作GH⊥AB于H，利用同角的三角函数得：tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{GH}{AH}=\frac{2}{3}$，设GH=2x，AH=3x，则AG=$\sqrt{13}$x，计算AF的长，得FG的长，最后计算线段AG：GF的值即可；
（2）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BDM≌△CED和△BNM≌△CFD，得BC=2+2=4，再证明△ADE∽△ABC，列比例式可得结论．

解答 证明：（1）①连接CD，
∵AE=EC，EF⊥AC，
∴DE是AC的中垂线，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠ACD，
∵AD=BD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠ADB=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∴2∠ACD+2∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=45°，
即∠ACB=45°；

②如图2，∵AE=EC，EF⊥BC，
∴AF=FC，
∵BF：CF=2：3，
∴$\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$，
∵∠FEC=90°，∠ACB=45°，
∴∠EFC=45°，
∴EF=EC，
∴EF=EC=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°，
∴∠AFC=45°+45°=90°，
∴△ABF是直角三角形，
过G作GH⊥AB于H，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{GH}{AH}=\frac{2}{3}$，
设GH=2x，AH=3x，则AG=$\sqrt{13}$x，
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45，
∴△BHG是等腰直角三角形，
∴BH=GH=2x，
∴AB=2x+3x=5x，
cos∠BAF=$\frac{AF}{AB}=\frac{AH}{AG}$，
∴$\frac{AF}{5x}=\frac{3x}{\sqrt{13}x}$，
∴AF=$\frac{15\sqrt{13}}{13}$x，
∴FG=AF-AG=$\frac{15\sqrt{13}}{13}$x-$\sqrt{13}$x=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$x，
∴AG：GF=$\sqrt{13}$x：$\frac{2\sqrt{13}}{13}$x=13：2；

（2）如图3，在DF上取一点M，使DM=DE=3，连接BM、DC，
由旋转得：BD=CE，AD=AE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ADE+∠BDF=∠AEF+∠FEC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AEF，
∴∠BDF=∠FEC，
∴△BDM≌△CED（SAS），
∴∠BMD=∠CDE，BM=CD，
∴∠BMF=∠FDC，
延长EF至N，使FN=DE=3，连接BN，
∴FN=DM，
∴FN+FM=DM+FM，
即MN=FD，
∴△BNM≌△CFD，
∴∠DFC=∠N=∠BFN，
∴BF=BN=2，
∴FC=BN=2，
∴BC=2+2=4，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠ABC=∠ACB，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{3}{4}$，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定、三角函数、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质和判定，第一问利用比的份数设未知数，求线段的比；第二问作辅助线构建全等三角形是关键，难度适中．