Question

已知直线y=-

3

4

x+m与x轴y轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）
（1）求的m值和点A的坐标；
（2）在矩形OACB中，点P是线段BC上的一动点，直线PD⊥AB于点D，与x轴交于点E，设BP=a，梯形PEAC的面积为s．
①求s与a的函数关系式，并写出a的取值范围；
②⊙Q是△OAB的内切圆，求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知一次函数的解析式，把已知坐标代入求出点A的坐标；
（2）根据勾股定理求出AB后再利用三角函数求出cos∠CBA，BD，AD的值．证明△PBD∽△EAD，利用线段比求出AE的值．最后可求S_梯形PEAC．已知S_△OAB，求出r的值．根据勾股定理求出QM，又因为已知BC，BA的值，根据三角函数求出BP与BD的等量关系．继而求出点P的坐标．当PE的圆心Q的另一侧时，同理亦可求点P的坐标．

解答：解：（1）把B（0，6）代入y=-

3

4

x+m，得m=6，
把y=0代入y=-

3

4

x+6y=-

3

4

+6，得x=8，
∴点A的坐标为（8，0）；

（2）在矩形OACB中，AC=OB=6，
BC=OA=8，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=∠C=90°，cos∠CBA=

BD

BP

=

BC

BA

∴

BD

a

=

8

10

，
∴BD=

4

5

a，
∴AD=10-

4

5

a，
又∵BC∥AE，
∴△PBD∽△EAD，
∴

AE

BP

=

AD

BD

，即

AE

a

=

10- 4a 5

4a 5

，
∴AE=

5

4

(10-

4a

5

)=12.5-a，
∵S_梯形PEAC=

1

2

(PC+AE)AC，
∴s=

1

2

(8-a+12.5-a)6=-6a+61.5（4.5≤a＜8），
（注：写成4.5＜a＜8不扣分）
②⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r，
∴S△OAB=

1

2

(6+8+10)r=

1

2

×6×8，
解得r=2，
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H，
可知，OF=2，
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4，
设直线PD与⊙Q交于点I、J，过Q作QM⊥IJ于点M，连接IQ、QG，
∵QI=2，IM=

1

2

IJ=1.2，
∴QM=

QI2-IM2

=1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA=

BD

BP

=

BC

BA

=

8

10

，
得BP=

5

4

BD=7，
∴点P的坐标为（7，6），
当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6），
综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．

点评：本题难度较大，且要注意全面分析题目以及考虑问题，重点考查一次函数的综合应用，同时要联系图象解决问题．