Question

17．在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，交BC边于点E，DF∥BC，交AB边于点F，交AC边于点G，点H在FG的延长线上，GH=DG，连接AF、CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCH为矩形；
（2）如图2，当∠ACB=60°，DG=2FD时，请直接写出图中与线段AD长相等的线段．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ADCH是平行四边形，再证明∠ADC=90°即可．
（2）与AD相等的线段有DE，AG，GC，CH，BE．构建等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理即可判断．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠DCA=∠DCE，CD⊥AE，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°，∠CEA+∠DCE=90°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=EC，
∴AD=DE，
∵FH∥BC，
∴AG=GC，∵DG=GH，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCH是矩形．

（2）解：如图2中，与AD相等的线段有DE，AG，GC，CH，BE．

理由：∵CA=CE，∠ACE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∵FH∥BC，AD=DE，
∴△ADG是等边三角形，DF是△ABE的中位线，
∴与AD相等的线段有BE，DE，CG，AG，CH．

点评 本题考查矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．