Question

9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD平行于AB交⊙O于点D，过点D作DE垂直于点E，且CD=DE
（1）求证：AD²=2AE•AB；
（2）若△ABC的面积是50，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据平行线的性质得到∠ACD=∠BAC，于是得到$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，$\widehat{ADC}$=$\widehat{BCD}$，求得BD=AC，推出BD=AC=AB，根据勾股定理得到BD²=BE²+DE²，等量代换得到BD²=AB²=（AB-AE）²+DE²=AB²-2AB•AE+AE²+DE²，2AE•AB=AE²+DE²，根据勾股定理得到AD²=AE²+DE²，即可得到结论．
（2）过C作CF⊥AB，根据等腰梯形的性质得到则BF=AE，CD=EF，于是得到BE=CD+BF=CD+AE，由勾股定理得到（CD+AE）²+DE²=AC²，化简整理得到CD=$\frac{3}{5}$AB，然后又三角形的面积即可得到结果．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{ADC}$=$\widehat{BCD}$，
∴BD=AC，
∴BD=AC=AB，
∵△BED为直角三角形，
∴BD²=BE²+DE²，
BD²=AB²=（AB-AE）²+DE²=AB²-2AB•AE+AE²+DE²，
2AE•AB=AE²+DE²，
∵△AED为直角三角形，
∴AD²=AE²+DE²，∴AD²=2AE•AB；

（2）过C作CF⊥AB，
则BF=AE，CD=EF，
∴BE=CD+BF=CD+AE，
∴（CD+AE）²+DE²=AC²，
即[CD+$\frac{1}{2}$（AB-CD）]²+CD²=AB²，
即 3AB²-2AB•CD-5CD²=0，
∴（3AB-5CD）•（AB+CD）=0，
∵CD 不等于负数，∴CD=$\frac{3}{5}$AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•DE=50，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$DC•DE=$\frac{1}{2}×$ $\frac{3}{5}$AB•DE=$\frac{3}{5}$S_△ABC=30．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，圆周角定理，等腰梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．