Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点 A 开始沿边AB向B 以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别同时从A、B出发．
（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）几秒钟后，PQ的长为3$\sqrt{5}$cm？
（3）几秒钟时，△ABC与以点P、B、Q为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm²，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．

解答 解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm²．
∵AP=1•x=x，BQ=2x，
∴BP=AB-AP=6-x，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×BP×BQ=$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，
∴x²-6x+8=0，
解得：x=2或4，
即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm²；

（2）由（1）得：（6-x）²+（2x）²=（3$\sqrt{5}$）²，
解得：x=3或x=-$\frac{3}{5}$．
答：经过3秒PQ的长为3$\sqrt{5}$cm；

（3）当△ABC∽△PBQ时，
$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
即：$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$，
解得：x=2.4，；
当△ABC∽△QBP时，
$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
即：$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$，
解得：x=$\frac{18}{11}$．
故2.4秒或$\frac{18}{11}$秒时△ABC与以点P、B、Q为顶点的三角形相似．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．