Question

3．在等腰△ABC中，三边长分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程：x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的周长l．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；
（2）可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴△=（b+2）²-4（6-b）=0，即b²+8b-20=0；
解得b=2，b=-10（舍去）；

（2）①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC的周长l=5+5+2=12．

点评 此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．