Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是

AC

上一点，弦DE⊥AB交AC于F，交AB于H，交⊙O于E，P是ED延长线上一点，连PC．
（1）若PC=PF，判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若

DA

=

DC

，sin∠BAC=

1

3

，求sin∠ADE的值．

Answer 1

分析：（1）先做出判断，PC与⊙O的位置关系为相切，然后证明．方法是：连接OC，根据等边对等角及对顶角相等，由PC=PF得到∠PCF=∠PFC=∠AFH，再由垂径定理和DE与AB垂直得到

AD

与

AE

相等，且∠OAC+∠AFH=90°，由半径OA与OC相等得到∠OAC与∠OCA相等，等量代换即可得到∠OCP=90°，从而得到PC为⊙O的切线；
（2）连接OD交AC于M，根据（1）得到

AD

与

AE

相等，得到AC与OD垂直，利用正弦函数定义表示出sin∠BAC，让其值等于已知值，进而得到OM和AO的关系，设出OM，表示出OA，在直角三角形AOM中，根据勾股定理表示出AD的长，再根据

CD

=

AD

=

AE

，根据等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠ADE，在直角三角形DAM中，由正弦函数定义求出sin∠CAD的值，即为sin∠ADE的值．

解答：解：（1）PC与⊙O相切．
证明：连OC，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，
又∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AE

，∠OAC+∠AFH=90°，
∴∠OCA+∠PCF=90°即∠OCP=90°，
∴PC为⊙O的切线．

（2）连OD交AC于M，∵

AD

=

AE

，
∴AC⊥OD，∴sin∠BAC=

OM

AO

=

1

3

，
设OM为x，则OD=OA=3x，
∴DM=2x，在Rt△AOM中AM=2

2

x，
∴AD=2

3

x，又

CD

=

AD

=

AE

，∠CAD=∠ADE，
∴sin∠ADE=sin∠CAD=

DM

AD

=

2x

2 3 x

=

3

3

．

点评：本题考查垂径定理、切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用．证明切线的方法是：有点连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂直，证明垂线段长等于半径．