Question

（2012•江岸区模拟）菱形ABCD两条对角线相交于点O，
（1）如图1，点M是BC中点，AM、DM分别交OB、OC于点E、F，连接EF．
求证：EF∥AD；
（2）在（1）的条件下，求△MEF与△AOD的面积比；
（3）如图2，点M、N是BC的三等分点，AM、DN分别交OB、OC于点E、F，连接EF，当AD⊥DN时，tan∠ODA=

2

．（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得到BC∥AD，BC=AD，则BM=MC=

1

2

AD，由BM∥AD，根据三角形相似的判定方法得到△BME∽△DAE，则

BM

AD

=

ME

AE

=

1

2

，同理得到

CM

AD

=

MF

DF

=

1

2

，即

ME

AE

=

MF

FD

，然后根据平行线线分线段成比例定理的逆定理得到EF∥AD；
（2）由于EF∥AD，则△MEF∽△MAD，根据三角形相似的性质得

S△MEF

S△MAD

=（

ME

MA

）²，利用

ME

AE

=

1

2

得

S△MEF

S△MAD

=

1

9

，而S_△MAD=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×4S_△AOD=2S_△AOD，所以△MEF与△AOD的面积=2：9；
（3）由NC∥AD得到△NCF∽△DAF，则

NC

AD

=

CF

FA

=

1

3

，即FA=3FC，再根据菱形的性质得OA=OC，OA⊥OD，所以OF=CF，OF=

1

2

OA，易证得Rt△AOD∽Rt△DOF，所以OA：OD=OD：OF，即OD²=OA•OF，则OD²=OA•

1

2

OA，即OA=

2

OD，在Rt△AOD中，利用正切的定义可求出tan∠ODA的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵点M是BC中点，
∴BM=MC=

1

2

AD，
∵BM∥AD，
∴△BME∽△DAE，
∴

BM

AD

=

ME

AE

=

1

2

，
∵CM∥AD，
∴△CMF∽△ADF，
∴

CM

AD

=

MF

DF

=

1

2

，
∴

ME

AE

=

MF

FD

，
∴EF∥AD；

（2）∵EF∥AD，
∴△MEF∽△MAD，
∴

S△MEF

S△MAD

=（

ME

MA

）²，
∵

ME

AE

=

1

2

，
∴

ME

MA

=

1

3

，
∴

S△MEF

S△MAD

=

1

9

，
∵S_△MAD=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×4S_△AOD=2S_△AOD，
∴△MEF与△AOD的面积=2：9；

（3）∵点M、N是BC的三等分点，
∴NC=

1

3

BC=

1

3

AD，
∵NC∥AD，
∴△NCF∽△DAF，
∴

NC

AD

=

CF

FA

=

1

3

，即FA=3FC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，OA⊥OD，即∠AOD=90°，
∴OF=CF，OF=

1

2

OA，
∵AD⊥DN，
∴∠ADF=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△DOF，
∴OA：OD=OD：OF，即OD²=OA•OF，
∴OD²=OA•

1

2

OA，
即OA=

2

OD，
在Rt△AOD中，tan∠ODA=

OA

OD

=

2

．
故答案为

2

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握菱形的性质和平行线线分线段成比例定理及其逆定理；会运用三角形相似的判定与性质进行几何计算．