Question

1．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点H，DC=AH，连接AD、AC，点F在弦AE上，连接DF、CF，∠DFE=∠CAH，∠CFE=∠CAD，CH=$\sqrt{37}$，则AF长为5．

Answer 1

分析 先用垂径定理得出CD，进而用勾股定理求出AD，AC，再用已知角推导出∠FCE=∠AEC，即可得出FE=FC，进而判断出△FDE≌△FGE（ASA）即可得出DE=EG=$\frac{1}{2}$CE，再用角平分线定理求出CM，DM即可得出MH，进而利用勾股定理求出AM，再用△ADM∽△AED求出DE，最后用△DEC∽△AFC得出比例式即可求出AF．

解答 解：如图，∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴DH=CH=$\frac{1}{2}$CD，
∵DC=AH，
∴AH=CD=2CH=2$\sqrt{37}$，
在Rt△ACH中，AD=AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$CH=$\sqrt{185}$，
连接BE，CE，过点F作FG⊥CE，
∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴∠ADC=∠ACD，∠BAD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵∠CFE=∠CAD，∠ADC=∠AEC，
∴∠ACD=∠FCE，
∵∠ADC=∠ACD，
∴∠FCE=∠AEC，
∴FE=FC，
∵FG⊥CE，
∴EG=CG=$\frac{1}{2}$EC，∠EFG=∠CFG=$\frac{1}{2}$∠EFC=$\frac{1}{2}$∠CAD=∠CAH，
∵∠DFE=∠CAH，
∴∠EFG=∠DEF，
∵∠AED=∠ACD=∠ADC=∠AEC，
在△FDE和△FGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AEC}\\{EF=EF}\\{∠DFE=∠EFG}\end{array}\right.$，
∴△FDE≌△FGE（ASA），
∴DE=EG=$\frac{1}{2}$CE，
∵∠AED=∠AEC，
∴$\frac{DE}{EC}=\frac{DM}{CM}=\frac{DE}{2DE}=\frac{1}{2}$，
∴CM=2DM，
∵CD=2CD=2$\sqrt{37}$=DM+CM=3DM，
∴DM=$\frac{2\sqrt{37}}{3}$，
CM=$\frac{4\sqrt{37}}{3}$，
∴MH=CM-CH=$\frac{\sqrt{37}}{3}$，
在Rt△AHM中，AM=$\sqrt{A{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\frac{37}{3}$，
∵∠ADM=∠AED，∠DAM=∠EAD，
∴△ADM∽△AED，
∴$\frac{DM}{DE}=\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{\frac{2\sqrt{37}}{3}}{DE}=\frac{\frac{37}{3}}{\sqrt{185}}$，
∴DE=2$\sqrt{5}$，
∵点A，D，E，C四点共圆，
∴∠DEC+∠CAD=180°，
∵∠CAD=∠EFC，
∴∠DEC+∠EFC=180°，
∵∠AFC+∠EFC=180°，
∴∠DEC=∠AFC，
∴∠CDE=∠CAF，
∴△DEC∽△AFC，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{CD}{AC}$，
∴AF=$\frac{DE•AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{185}}{2\sqrt{37}}$=5．
故答案为5．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线定理等知识点；判断出FE=FC和CE=2DE是解本题的关键，求出DE是解本题的突破口；此题还可以拓展：如判断点O在CE的垂直平分线上，DF与DE垂直等．