题目内容

勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），点P₃是线段AP₂的黄金分割点（AP₃＜P₂P₃），…，依此类推，则AP_n的长度是________．

（ $\text{[math]}$ ）ⁿ
分析：根据黄金分割的定义得到BP₁= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ，则AP₁=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理得到AP₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，AP₃=（ $\text{[math]}$ ）³，根据此规律得到AP_n=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
解答：∵线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），
∴BP₁= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ，
∴AP₁=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
∴AP₃=（ $\text{[math]}$ ）³，
∴AP_n=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
故答案为（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC= $\text{[math]}$ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．