如图.直线y=k1x交双曲线y=$\frac{{k} {2}}{x}$于点A.B．(1)如图1.若点A横坐标为-3.直线y=2x+5经过点A.求双曲线的解析式,条件下.直线y=2x+5交y轴于点C.求∠CAO的度数,(3)如图2.若点P在y=$\frac{{k} {2}}{x}$上.且在直线AB的上方.直线BP交y轴于点D.直线AP交y轴于点Q.若BP=aPD.AQ=bPQ.则a-b=-1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，直线y=k₁x交双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$于点A，B．
（1）如图1，若点A横坐标为-3，直线y=2x+5经过点A，求双曲线的解析式；
（2）在（1）条件下，直线y=2x+5交y轴于点C，求∠CAO的度数；
（3）如图2，若点P在y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）上，且在直线AB的上方，直线BP交y轴于点D，直线AP交y轴于点Q，若BP=aPD，AQ=bPQ，则a-b=-1．（直接写出结果）．

分析（1）根据点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出双曲线的解析式；
（2）在图1中，过点O作OE⊥AC于点E，由点A、O、C的坐标结合面积法即可求出OA、OE的长度，再根据正弦的定义即可求出∠CAO的度数；
（3）根据正、反比例函数的对称性可找出点B的坐标，在图2中，过点A作AA′∥x轴于A′，过点P作PM∥y轴交AA′的延长线于点M，过点B作BB′⊥y轴于点B′，交PM于点N，则△BPN∽△BDB′，△AA′Q∽△AMP，根据相似三角形的性质可得出BN=aB′N、AA′=bA′M，设点P的坐标为（m，$\frac{3}{m}$）（0＜m＜3），即可得出a=$\frac{BN}{B′N}$=$\frac{3-m}{m}$、b=$\frac{AA′}{A′M}$=$\frac{3}{m}$，二者做差后即可得出结论．

解答解：（1）当x=-3时，y=2x+5=-1，
∴点A的坐标为（-3，-1）．
将点A（-3，-1）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，
-1=$\frac{{k}_{2}}{-3}$，解得：k₂=3，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{3}{x}$．
（2）在图1中，过点O作OE⊥AC于点E．
当x=0时，y=2x+5=5，
∴点C的坐标为（0，5），
又∵A（-3，-1），
∴OC=5，OA=$\sqrt{10}$，AC=3$\sqrt{5}$．
∵S_△OAC=$\frac{1}{2}$OC•（-x_A）=$\frac{15}{2}$=$\frac{1}{2}$AC•OE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$OE，
∴OE=$\sqrt{5}$，
∴sin∠CAO=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠CAO=45°．
（3）由正、反比例函数的对称性可知，点B的坐标为（3，1）．
在图2中，过点A作AA′∥x轴于A′，过点P作PM∥y轴交AA′的延长线于点M，过点B作BB′⊥y轴于点B′，交PM于点N，
则△BPN∽△BDB′，△AA′Q∽△AMP．
∵BP=aPD，AQ=bPQ，
∴BN=aB′N，AA′=bA′M．
设点P的坐标为（m，$\frac{3}{m}$）（0＜m＜3），
∴a=$\frac{BN}{B′N}$=$\frac{3-m}{m}$，b=$\frac{AA′}{A′M}$=$\frac{3}{m}$，
∴a-b=$\frac{3-m}{m}$-$\frac{3}{m}$=-1．
故答案为：-1．

点评本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、两点间的距离、正弦以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）通过解直角三角形求出sin∠CAO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；（3）通过构造相似三角形，找出a=$\frac{3-m}{m}$、b=$\frac{3}{m}$．