Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（a，0），B（m，n），C（p，n），其中m＞p＞0，n＞0，点A，C在直线y=-2x+10上，AC=$2\sqrt{5}$，OB平分∠AOC，求证：四边形OABC是菱形．

Answer 1

分析 先根据点A（a，0）在直线y=-2x+10上，求得点A的坐标，在Rt△ACE中，根据勾股定理列出方程（5-p）²+n²=（2$\sqrt{5}$）²，再根据点C（p，n）在直线y=-2x+10上，
得到方程n=-2p+10，进而求得n和p的值，根据点C的坐标，求得OC的长，最后根据菱形的定义判定四边形OABC是菱形．

解答 解：∵B（m，n），C（p，n），
∴BC∥x轴，
∵点A（a，0）在直线y=-2x+10上，
∴0=-2a+10，即a=5，
∴A（5，0），即OA=5，
过C作CE⊥OA于点E，则∠AEC=90°，AE=5-p，
∵在Rt△ACE中，AE²+CE²=AC²，
∴（5-p）²+n²=（2$\sqrt{5}$）²，
又∵点C（p，n）在直线y=-2x+10上，
∴n=-2p+10
∴（5-p）²+（-2p+10）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得p₁=3，p₂=7，
∴当p=3时，n=4；当p=7时，n=-4（舍去），
∴C（3，4），
∴在Rt△OCE中，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OC=OA，
∵OB平分∠AOC，
∴∠1=∠2，
又∵BC∥OA，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=BC=5，
∴OA∥BC，且OA=BC，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵OC=OA，
∴平行四边形OABC是菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定，解决问题的关键是掌握菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．解题时注意，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b，这是得出方程的依据．