Question

如图所示，已知：AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，过点B作BD⊥CP于D，若CP是⊙O的切线．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积；
（3）若过点A作AE⊥CP交直线CP于点E，BD=5，AE=8，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,三角形中位线定理,扇形面积的计算,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S_扇形OCB-S_△OCB=

1

6

π-

3

4

．
（3）求出四边形EDBG是矩形，得出GE=BD=5，再求出OF是△ABG的中位线，根据三角形中位线的性质求得OF，根据OC=OF+BD即可求得．

解答：解：（1）如图1，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
∴△ACB∽△CDB；
（2）如图1，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴S_△OCB=

3

4

，S_扇形OCB=

60ππr2

360

=

1

6

π，
故阴影部分的面积=S_扇形OCB-S_△OCB=

1

6

π-

3

4

．
（3）作BG⊥AE于G，连接OC，交BG于F，如图2，
∵AE⊥CD，AE⊥BG，
∴BG∥ED，
∵BD⊥CD，
∴四边形EDBG是矩形，
∴GE=BD=5，
∴AG=AE-BD=8-5=3，
∵直线CD是⊙O的切线，
∴OC⊥ED，
∴OC⊥GB，
∴FG=FB，
∴OA=OB，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF=

1

2

AG=1.5，
∴OC=1.5+5=6.5．

点评：本题主要考查了切线的性质，三角形的中位线的性质定理，矩形的判定和性质，扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．