Question

8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P是边BC上的动点，点Q是对角线AC上的动点（包括端点A，C），则EP+PQ的最小值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图作点E关于BC的对称点E′，作E′Q′⊥AC于Q′交BC于P．则PE=PE′，可知PQ+PE=PE′+PQ，所以当Q用Q′重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），求出E′Q′的长即可解决问题．

解答 解：如图作点E关于BC的对称点E′，作E′Q′⊥AC于Q′交BC于P．
∴PE=PE′，
∴PQ+PE=PE′+PQ，
当Q用Q′重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠E′AQ′=45°，
∵AE′=6，∴E′Q′=3$\sqrt{2}$，
∴PE+PQ的最小值为3$\sqrt{2}$．
故答案为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、正方形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，把问题转化为垂线段最短，所以属于中考常考题型．