Question

13．如图，在?ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E、F在BC、AD上，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）①当四边形AECF是菱形时，求BE的长；
②当四边形AECF是矩形时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再证明AF=EC，可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）①由菱形的性质得出AE=CE，得出∠EAC=∠ECA，由角的互余关系证出∠B=∠BAE，得出AE=BE，即可得出结果；
②由矩形的性质得出∠AEC=∠AEB=90°，证出△ABE∽△CBA，得出对应边成比例，即可求出BE的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：①∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ECA=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=5；
②∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}$，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}=\frac{{6}^{2}}{10}$=3.6．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，本题综合性强，灵活运用菱形和矩形的性质进行推理计算是解题关键．