Question

17．关于x的方程x²+（n+1）x-n²=0的两根为α_n，β_n．求$\frac{1}{{（α}_{1000}+1）{（β}_{1000}+1）}$+$\frac{1}{{（α}_{1001}+1）{（β}_{1001}+1）}$+…+$\frac{1}{{（α}_{2000}+1）{（β}_{2000}+1）}$的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系即可得出α_n+β_n=-n-1、α_n•β_n=-n²，进而可得出$\frac{1}{（{α}_{n}+1）（{β}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$，将其代入$\frac{1}{{（α}_{1000}+1）{（β}_{1000}+1）}$+$\frac{1}{{（α}_{1001}+1）{（β}_{1001}+1）}$+…+$\frac{1}{{（α}_{2000}+1）{（β}_{2000}+1）}$中即可得出结论．

解答 解：∵关于x的方程x²+（n+1）x-n²=0的两根为α_n，β_n，
∴α_n+β_n=-n-1，α_n•β_n=-n²，
∴$\frac{1}{（{α}_{n}+1）（{β}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{α}_{n}•{β}_{n}+{α}_{n}+{β}_{n}+1}$=-$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{（α}_{1000}+1）{（β}_{1000}+1）}$+$\frac{1}{{（α}_{1001}+1）{（β}_{1001}+1）}$+…+$\frac{1}{{（α}_{2000}+1）{（β}_{2000}+1）}$=$\frac{1}{1001}$-$\frac{1}{1000}$+$\frac{1}{1002}$-$\frac{1}{1001}$+…+$\frac{1}{2001}$-$\frac{1}{2000}$=$\frac{1}{2001}$-$\frac{1}{1000}$=-$\frac{1001}{2001000}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是结合根与系数的关系找出$\frac{1}{（{α}_{n}+1）（{β}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$．