Question

9．如图是两个全等的正方形，把正方形QMNP的一个顶点Q放置在正方形ABCD的中心O处，绕点O旋转正方形QMNP，求证：两个正方形公共部分的面积为定值．

Answer 1

分析 本题可分两种情况进行讨论，当OP过C点的时候，重叠的部分为正方形面积的$\frac{1}{4}$；当旋转到如图所示的位置时，重叠的部分是个四边形，通过构造三角形全等，即可得出结果．

解答 证明：当OP∥AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$a²，
当OP在如图位置时，过O分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，
如图，
在Rt△OEG与Rt△OFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOG=∠HOF}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\\{∠OEG=∠OFH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEG≌△OFH（ASA），
∴S_{四边形OHCG}=S_{四边形OECF}=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积=$\frac{1}{4}$a²，
即两个正方形重叠部分的面积为定值．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定等知识点；本题利用构建全等三角形来将所求的面积进行转化是解题的关键．