Question

9．如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB绕点O旋转150°得到△OA′B′，则点A′的坐标为（0，-4）或（-2$\sqrt{3}$，-2）．

Answer 1

分析 根据直角三角形两锐角互余求出∠AOB=60°，然后分①顺时针旋转，点A′在y轴负半轴，根据OA′的长度写出点A′的坐标即可；②逆时针旋转时，求出OA′与x轴负半轴夹角为30°，过点A′作A′C⊥x轴于C，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出A′C，再利用勾股定理列式求出OC，然后写出点A′的坐标即可．

解答 解：∵∠ABO=90°，∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
①若是顺时针旋150°，如图1，点A′在y轴负半轴，
则OA′=OA=4，
所以，点A′的坐标为（0，-4）；
②若是逆时针旋转150°，如图2，
∵旋转角为150°，
∴OA′与x轴负半轴夹角为30°，
过点A′作A′C⊥x轴于C，
则A′C=$\frac{1}{2}$OA′=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{OA{′}^{2}-A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以，点A′的坐标为（-2$\sqrt{3}$，-2），
综上所述，点A′的坐标为（0，-4）或（-2$\sqrt{3}$，-2）．
故答案为：（0，-4）或（-2$\sqrt{3}$，-2）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了直角三角形两锐角互余，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理，难点在于分情况讨论．