Question

9．直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）与函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象有且仅有2个交点，则k的取值范围是$\frac{1}{2}$＜k≤1或k=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 画出函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象，要使直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）与函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象有且只有2个交点，只需直线经过（2，3）和经过（2，$\frac{1}{2}$）之间．

解答 解：函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象如图所示
∵直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）与函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象有且只有2个交点，
当直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）经过点（2，3）时，则3=2k+$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{5}{4}$，
当直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）经过点（-1，0）时，k=$\frac{1}{2}$，
当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象也有且仅有两个交点；
∴直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）与函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的图象有且只有2个交点，则k的取值为$\frac{1}{2}$＜k≤1或k=$\frac{5}{4}$．
故答案为$\frac{1}{2}$＜k≤1或k=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了一次函数的性质以及一次函数的图象和二次函数的图象，数形结合思想的应用是解题的关键．