Question

已知x=

1+ 1+ 1+x

，求x⁶+x⁵+2x⁴-4x³+3x²+4x-4的整数部分．

Answer 1

考点：二次根式的化简求值

专题：计算题

分析：根据算术平方根非负数判断出x＞0，然后利用放缩法判断出

1+x

＞x与

1+x

＜x都不成立，从而得到

1+x

=x，两边平方得到x²-x-1=0，根据一元二次方程的解法求出x的值，再利用配项法把x⁶+x⁵+2x⁴-4x³+3x²+4x-4整理成（x²-x-1）与另一多项式相乘的形式加上另一多项式，然后代入x的值进行计算，最后利用“夹逼法”进行解答．

解答：解：由已知得x＞0．
若

1+x

＞x，
则x=

1+ 1+ 1+x

＞

1+ 1+x

＞

1+x

，与假设矛盾；
若

1+x

＜x，
则x=

1+ 1+ 1+x

＜

1+ 1+x

＜

1+x

，与假设矛盾；
因此

1+x

=x，
两边平方并整理得，x²-x-1=0，
解得x=

1+ 5

2

，x=

1- 5

2

（舍去），
而x⁶+x⁵+2x⁴-4x³+3x²+4x-4=（x⁶-x⁵-x⁴）+（2x⁵-2x⁴-2x³）+（5x⁴-5x³-5x²）+（3x³-3x²-3x）+（11x²-11x-11）+18x+7，
=x⁴（x²-x-1）+2x³（x²-x-1）+5x²（x²-x-1）+3x（x²-x-1）+11x（x²-x-1）+18x+7，
=（x²-x-1）（x⁴+2x³+5x²+3x+11）+18x+7，
=18x+7，
所以，原式=18×

1+ 5

2

+7=16+9

5

=16+

405

，
∵20＜

405

＜21，
∴所求整数值为36．

点评：本题考查了二次根式的化简，本题难点有二，其一是利用放缩法判断出

1+x

=x，从而得到x²-x-1=0，其二是对所求多项式配项出现（x²-x-1）与另一多项式相乘的形式，正确进行配项是解题的关键．