Question

7．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，可得S_△ABE=S_△ACF，故根据S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．

解答 解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AC=AC}\\{∠ABC=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
∴S_{四边形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又∵S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则
此时△CEF的面积就会最大，
∴S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键．