Question

阅读材料，解答问题．
例  如图，在△BCD中，∠C=90°，∠BDC=45°，利用此等腰直角三角形你能求出tan22.5°的值吗？
解：延长CD到点A，使AD=BD，连接AB．
设BC=a（a＞0）．
∵在△BCD中，∠C=90°，∠BDC=45°．
∴∠A=

45°

2

=22.5°．
∴CD=a，AD=BD=

2

a．
∴AC=(

2

+1)a．
∴tan22.5°=

BC

AC

=

a

( 2 +1)a

=

1

2 +1

=

1×( 2 -1)

( 2 +1)×( 2 -1)

=

2

-1．
（1）仿照上例，求出tan15°的值；
（2）在一次课外活动中，小刘从上例得到启发，用硬纸片做了两个直角三角形，如图1、图2．图1中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图3是小刘所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿CA方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在CA边上（移动开始时点E与点C重合）．
①在△DEF沿CA方向移动的过程中，∠FCD的度数逐渐

 

．（填“不变”、“变大”、“变小”）
②在△DEF移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：阅读型

分析：（1）利用含30度的直角三角形构造一个含15度的直角三角形，然后根据正切的定义求解；
（2）①先计算出AC=12，DF=4，在Rt△CDF中，则tan∠FCD

4

CD

，然后利用CD的变化进行求解；
②由于当△DEF沿CA方向移动，点D与点A重合时，∠FCD最小，计算此时∠FCD的度数，然后证明此时∠FCD的度数大于15°即可．

解答：解：（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，

延长CD到D，使AD=AB，连接BD，
设BC=a（a＞0）．
在△BCD中，∵∠C=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2a，AC=

3

a，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD，
∴∠D=

1

2

∠BAC=15°，
在Rt△BCD中，
∵tanD=

BC

CD

∴tan15°=

a

2a+ 3 a

=2-

3

；
（2）①如图，连结CF，

在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，
∴AC=2BC=12cm，
在Rt△DEF中，∵∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm，
∴DF=4cm，
在Rt△CDF中，tan∠FCD=

DF

CD

=

4

CD

，
∵当△DEF沿CA方向移动时，CD逐渐变大，则tan∠FCD的值逐渐变小，
∴∠FCD变小；
故答案为变小；
②不存在．理由如下：
当△DEF沿CA方向移动，点D与点A重合时，∠FCD最小，
此时tan∠FCD=

4

12

=

1

3

，
而tan15°=2-

3

=

1

2+ 3

，
∵2+

3

＞3，
∴tan∠FCD＞tan15°，
∴∠FCD＞15°，
∴在△DEF移动过程中，不存在某个位置，使得∠FCD=15°．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．