Question

16．如图，矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB中点，E，F为OA上两动点，且EF=2，则四边形CDEF周长最小值为$\sqrt{13}$+$\sqrt{37}$+2．

Answer 1

分析 由于四边形CDEF中，CD、EF的长度为定值，欲求四边形CDEF周长的最小值，即求出DF和CE之和的最小值即可，为此，作点D关于OA的对称点M，作MN∥OA，使MN=2，连接CN，交OA于点E，过M点作MF∥EN，交OA于F，则此时四边形CDEF周长最小．

解答 解：作点D关于OA的对称点M，作MN∥OA，使MN=2，连接CN，交OA于点E，过M点作MF∥EN，交OA于F，则此时四边形CDEF周长最小；
∵BC=3，BD=2，
∴CD=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵DF=MF=EN，
∴DF+CE=CN，
∵CN=$\sqrt{G{C}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{（4+2）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴四边形CDEF周长最小值为CD+EF+CN=$\sqrt{13}$+$\sqrt{37}$+2．
故答案为$\sqrt{13}$+$\sqrt{37}$+2．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，难度中等，求线段的和最小的问题基本的解题思路是根据轴对称转化为两点之间的距离的问题．