如图.在边长为1的正方形ABCD中.动点F.E分别以相同的速度从D.C两点同时出发向C和B运动.过点P作PM∥CD交BC于M点.PN∥BC交CD于N点.连接MN.在运动过程中.则下列结论:①△ABE≌△BCF,②AE=BF,③AE⊥BF,④CF2=PE•BF,⑤线段MN的最小值为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．其中正确的结论有( )A．2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF²=PE•BF；⑤线段MN的最小值为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
其中正确的结论有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

分析由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤．

解答解：如图，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC=1}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，故③正确；
在△BPE和△BCF中，
∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，
∴△BPE∽△BCF，
∴$\frac{PE}{CF}$=$\frac{BE}{BF}$，
∴CF•BE=PE•BF，
∵CF=BE，
∴CF²=PE•BF，故④正确；
∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵PG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴CP=CG-PG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即线段CP的最小值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故⑤正确；
综上可知正确的有5个，
故选D．