Question

10．如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当AP=1时，求DH的长；
（3）求证：AP+HC=PH．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先设AE=x，则EP=4-x，由勾股定理可得：在Rt△AEP中，AE²+AP²=PE²，即可得方程：x²+1²=（4-x）²，即可求得答案AE的长，易证得△DPH∽△AEP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（3）首先过B作BQ⊥PH，垂足为Q，易证得△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH．

解答 （1）证明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）解：∵AP=1，
∴PD=AD-AP=4-1=3，
设AE=x，则EP=4-x，
在Rt△AEP中，AE²+AP²=PE²，
即x²+1²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{15}{8}$，
∵∠A=∠D=∠ABC=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，
由折叠的性质可得：∠EPG=∠ABC=90°，
∴∠APE+∠DPH=90°，
∴∠AEP=∠DPH，
∴△DPH∽△AEP，
∴$\frac{DH}{AP}$=$\frac{DP}{AE}$，
∴$\frac{DH}{1}$=$\frac{3}{\frac{15}{8}}$，
解得：DH=$\frac{8}{5}$；


（3）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP与△QBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQP=90°}\\{∠APB=∠BPH}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH与Rt△BQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BQ}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握折叠前后图形的对应关系、注意掌握方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．