Question

直线y=

3

3

x+

3

与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M为△AOB的外接圆．点C是劣弧上一动点（不与A，O重合）
（1）求⊙M的面积．
（2）连接BC交AO于点D，延长BC到点E，使DE=2，试探究，当点C运动到何处时，直线AE与⊙M相切，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出A，B两点的坐标，由⊙M经过点A，O，B，且∠AOB=90°，从而得出圆的半径进而求出面积；
（2）利用切线性质定理与判定定理先得出△EAD为等边三角形，进而求出AE为⊙M的切线．

解答：解：（1）对于y=

3

3

x+

3

中，令x=0，y=

3

；令y=0，x=-3，
∴A（-3，0），B（0，

3

），
∵⊙M经过点A，O，B，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径．
AB=2

3

，半径为

3

，
S=3π；

（2）当C运动到劣弧AO的中点时，直线AE与⊙M相切．
证明：∵在RT△AOB中，OB=

1

2

AB，
∴∠ABO=60°，∠BAO=30°，
∵点C是劣弧AO的中点，
∴

AC

=

CO

，
∴∠ABD=∠CBO=30°，
∴OD=OBtan30°=1，∠BDO=60°，
∴△EAD中，AD=3-1=2，∠ADE=∠BDO=60°，
∵DE=2，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAE=30°+60°=90°，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙M的切线．

点评：此题主要考查了切线的性质定理与判定定理，此定理是初中阶段最重要的定理之一，同学们应熟练地应用．