Question

5．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF=DE时，∠DOF的大小是165°或15°．

Answer 1

分析 讨论：如图1，连结CF、DE，根据正方形与等边三角形的性质得OC=OD，∠COD=90°，OE=OF，∠EOF=60°，根据“SSS”可判断△ODE≌△OCF，则∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF；如图2，同理可证得△ODE≌△OCF，所以∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF．

解答 解：如图1，连结CF、DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，∠COD=90°，
∵△OEF为等边三角形，
∴OE=OF，∠EOF=60°，
在△ODE和△OCF中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OE=OF}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OCF（SSS），
∴∠DOE=∠COF=$\frac{1}{2}$×（360°-90°-60°）=105°，
∴∠DOF=∠DOE+60°=165°；
如图2，在△ODE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OE=OF}\\{CF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OCF（SSS），
∴∠DOE=∠COF，
∴∠DOF=∠COE，
∴∠DOF=$\frac{1}{2}$×（90°-60°）=15°．
∴∠DOF的大小是165°或15°．
故答案为：165°或15°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质．