题目内容

给定锐角三角形PBC，PB≠PC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O．过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EM•FN=EN•FM；
（2）若EM•FN=EN•FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．

分析：（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，如图，则EQ=

OB=RM，MQ=

OC=RF，四边形OQMR是平行四边形，得到∠OQM=∠ORM，而A，B，C，D四点共圆，有∠ABD=∠ACD，得到∠EQM=∠EQO+∠OQM=∠FRO+∠ORM=∠FRM，得到
△EQM≌△MRF，则EM=FM，同理可得EN=FN，即可得到结论．
（2）若EM•FN=EN•FM，不一定有A，B，C，D四点共圆．当AD∥BC时，由于∠B≠∠C，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有EM•FN=EN•FM．设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则NS=

OD，EQ=

OB，得到

．①
同理得

．②而AD∥BC，所以

③，易证∠NSE=∠EQM，则△NSE∽△EQM，得到

（由②）．同理可得，

，所以

，从而EM•FN=EN•FM．

解答：

（1）证明：设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，如图，
∴EQ=

OB=RM，MQ=

OC=RF，四边形OQMR是平行四边形，
∴∠OQM=∠ORM，
而A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠EQO=2∠ABD=2∠ACD=∠FRO，
所以∠EQM=∠EQO+∠OQM=∠FRO+∠ORM=∠FRM，
∴△EQM≌△MRF，
∴EM=FM，
同理可得EN=FN，
所以EM•FN=EN•FM．

（2）若EM•FN=EN•FM，不一定有A，B，C，D四点共圆．理由如下：
当AD∥BC时，由于∠B≠∠C，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有EM•FN=EN•FM，证明如下：
如图2所示，