Question

1．如图，已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+3分别与x，y轴交于点A和B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求原点O到直线l的距离；
（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）利用点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离即可；
（3）设M坐标为（0，m），确定出OM，分两种情况考虑：若M在B点下边时，BM=3-m；若M在B点上边时，BM=m-3，利用相似三角形对应边成比例求出m的值，即可确定出M的坐标．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
∴A（4，0），B（0，3）；
（2）直线整理得：3x+4y-12=0，
∴原点O到直线l的距离d=$\frac{|-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$；
（3）设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，
若M在B点下边时，BM=3-m，
∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，
∴△MBN′∽△ABO，
∴$\frac{MN′}{OA}$=$\frac{BM}{AB}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{3-m}{5}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，此时M（0，$\frac{1}{2}$）；
若M在B点上边时，BM=m-3，
同理△BMN∽△BAO，则有$\frac{MN}{OA}$=$\frac{BM}{AB}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{m-3}{5}$，
解得：m=$\frac{11}{2}$．此时M（0，$\frac{11}{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．