Question

如图，在⊙O中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF=

1

4

，求AF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据垂径定理和切线的性质定理就可证得；
（2）连接BF，BD，根据切线长定理就可求得BC，进而根据三角形相似求得BD=

5

BF，然后根据勾股定理就可求得．

解答：解：（1）∵直径AB交弦ED于点G，EG=DG，
∴AB⊥ED，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴DE∥BC；
（2）连接BF，BD，
∵OD=1，CF=

1

4

，
∴CD=OD+CF=

5

4

，
∵BC是⊙O的切线，
∴BC²=CF•CD=

1

4

×

5

4

=

5

16

，
∴BC=

5

4

，
∵∠CBF=∠CDB，∠BCF=∠DCB，
∴△CBF∽△CDB，
∴

BD

BF

=

CB

CF

=

5

1

，
∴BD=

5

BF，
∵AF=BD，
∴AF=

5

BF，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF²+BF²=AB²，
∴AB=2OD=2，
∴AF²+（

5

AF）²=2²，
∴AF=

6

3

．

点评：本题考查了垂径定理的应用，切线的性质定理，直径所对的圆周角的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形和相似三角形是本题的关键．