Question

12．已知二次函数图象的顶点坐标为C（3，-2），且在x轴上截得的线段AB长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点的坐标．

Answer 1

分析 由抛物线的顶点坐标可得抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性可得A点和B点坐标分别为（1，0），（5，0），作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点P，则点P即为所求，利用待定系数法求出直线A′C的解析式，得出P点坐标即可．

解答 解：∵抛物线的顶点坐标为C（3，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵二次函数的图象在x轴上截得的线段AB长为4，
∴A点和B点坐标分别为（1，0），（5，0）．
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点P，则点P即为所求，则A′（-1，0），
设直线A′C的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A′（-1，0），C（3，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线A′C的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$，
∴P（0，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，先根据题意得出A、B两点的坐标是解答此题的关键．