Question

17．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P，Q分别为弧AM，弧BM上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ．有以下结论：①∠1=∠2，②∠MPN+∠MQN=180°，③∠MQN=∠PMN，④PM=QM，⑤MN²=PN•QN．其中正确的是①③⑤．

Answer 1

分析 利用等角的余角相等得到①对；利用三角形内角和定理得②错；利用垂径定理，同弧所对的圆周角相等得③对；利用三角形相似得⑤对，④错．

解答 解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图，
∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
则∠1=∠2，故①正确；
∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，$\widehat{AM}$=$\widehat{DA}$，
∵∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
∴P，C关于AB对称，
则$\widehat{PA}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{PD}$=$\widehat{MC}$，
∴∠MQN=∠PMN，故③正确；
∵∠MPN+∠PMN＜180°，∠MQN=∠PMN，
∴∠MPN+∠MQN＜180°，
故②错误；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故⑤正确，④错误．
故答案为：①③⑤．

点评 此题为圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．