Question

17．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE=30°，过D作DF⊥AE于F点，连接OF，则线段OF的长度为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作OG⊥DF于G，连接OG．易证A、O、F、D四点共圆，从而有∠OFG=∠DAO=45°，则有OG=FG．设GF=GO=x，则有DG=2+x，OF=$\sqrt{2}$x．然后先求出OD，再在Rt△OGD中运用勾股定理求出x，就可得到OF的长．

解答 解：作OG⊥DF于G，连接OG，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，∠AOD=90°．
∵DF⊥AE，即∠AFD=90°，
∴∠AOD=∠AFD．
∴A、O、F、D四点共圆．
∴∠OFG=∠DAO=45°．
∵OG⊥DF，即∠OGF=90°，
∴∠FOG=45°=∠OFG．
∴OG=FG．
∵∠AFD=90°，∠DAE=30°，AD=4，
∴DF=2．
设GF=GO=x，
则有DG=DF+FG=2+x，OF=$\sqrt{G{F}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
在Rt△AOD中，OD=AD•sin∠DAO=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OGD中，
∵∠OGD=90°，∴OG²+DG²=OD²．
∴x²+（2+x）²=（2$\sqrt{2}$）²．
解得：x₁=-1+$\sqrt{3}$，x₂=-1-$\sqrt{3}$（舍去）．
所以OF=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解一元二次方程、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，有一定的综合性，通过证明A、O、F、D四点共圆得到∠OFG=∠DAO=45°是解决本题的关键．