Question

1．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 当直线DE截△ABC所得的△BDE与△ABC相似，如图1，则$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$，利用比例性质可计算出DE；当直线DE截△ABC所得的△ADF与△ABC相似，如图2，易证得△BDE∽△BCA，则$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，然后利用比例性质可求出DE．

解答 解：∵D为AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵∠DBE=∠ABC，
∴当∠DBE=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$，即$\frac{DE}{4}$=$\frac{2.5}{5}$，解得DE=2；

当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，

∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{DE}{4}$=$\frac{2.5}{3}$，解得DE=$\frac{10}{3}$，
综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或$\frac{10}{3}$．
故答案为2或$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的运用．