Question

15．如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连按AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，且AE=AC，连接CE，求证：CE=CF．

Answer 1

分析 过D作DG⊥AC于G，过E作EH⊥AC于H．先证明四边形DGHE为矩形，根据矩形和正方形的性质得到EH=FH=DG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AE，证出∠EAH=30°，再根据等腰三角形的性质和角的和差关系得到∠CEF=∠CFB，从而得到CE=CF．

解答 证明：过D作DG⊥AC于G，过E作EH⊥AC于H，如图所示：
∵DE∥AC，
∴四边形DGHE为矩形，
∴EH=DG=$\frac{1}{2}$AC，
又∵AE=AC，
∴EH=$\frac{1}{2}$AE，
∴∠EAH=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
又∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠CFE=∠ACD+∠EAH=45°+30°=75°=∠AEC，
∴CE=CF．

点评 此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．