Question

10．己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设△BEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 证明△BEF是等边三角形，求出△BEF的面积y与x的函数关系式，即可得出答案．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}&{\;}\\{∠BDE=∠C}&{\;}\\{BD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；
∴BE=EF，△BEF的面积y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²，
作BE'⊥AD于E'，则AE'=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，BE'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AE=x，
∴EE'=$\frac{1}{2}$-x，
∴BE²=（$\frac{1}{2}$-x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3\sqrt{3}}{16}$（0≤x≤1）；
故选：A．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、动点问题的函数图象、三角形的面积问题．求出y与x的函数关系式是解决问题的关键．