Question

18．已知关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x₁，x₂，当k=1时，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）将k=1代入方程，由韦达定理得出x₁+x₂=-3，x₁x₂=1，代入到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂可得．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）²-4k²=4k+1＞0，
解得：k＞-$\frac{1}{4}$；

（2）当k=1时，方程为x²+3x+1=0，
∵x₁+x₂=-3，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9-2=7．

点评 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及韦达定理是解题的关键．