Question

1．如图，直线y=kx+2k （k≠0）与x轴交于点A，与反比例函数y=（m+3）x^2m-¹在第一象限内的图象交于点B，已知S_△AOB=3．
（1）求反比例函数解析式及点A、B的坐标；
（2）若点D在直线AB上，点P在坐标平面内，以OA为一条边作菱形OADP，直接写出符合条件的点P的坐标，并画出相应的菱形．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出2m-1=-1，解得m=1，从而求得反比例函数的解析式，直线y=kx+2k （k≠0）可先求得点A的坐标，根据三角形的面积求得B的纵坐标，代入反比例函数解析式即可求得B的坐标；
（2）求得直线的解析式，从而求得∠OAB=45°，根据菱形的性质得出OP=2，结合等腰直角三角形即可求得P的坐标．

解答 解：（1）由题意得：2m-1=-1，解得m=1，
∵反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$；
∵直线y=kx+2k （k≠0）与x轴交于点A，
令y=0，则kx+2k=0，解得x=-2，
∴A（-2，0），
∴OA=2，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•|y_B|=3．
∴y_B=3，
代入$y=\frac{3}{x}$得，3=$\frac{3}{x}$，解得x=1，
∴B（1，3）；
（2）把B（1，3）代入y=kx+2k 得，3=k+2k，解得k=1，
∴直线为y=x+2，
∴∠OAB=45°，
∵四边形OADP是菱形，
∴OP=OA=2，OP∥AD，
∴∠1=∠2=45°，
∴P点的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，直线上点的坐标特征，三角形面积，菱形的性质，等腰直角三角形的性质等，注意（2）有两种情况，不要漏掉．