Question

我们知道，过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把三角形分割成（n-2）个三角形．
（1）请以三角形、四边形、五边形为切入点研究，找出规律，如图①；
（2）如图②，在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？
（3）想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理？

Answer 1

考点：多边形的对角线,多边形内角与外角

专题：规律型

分析：（1）根据图形分别确定出三角形的个数即可；
（2）根据三角形的个数与边数的规律写出即可；
（3）图①，多边形的内角和等于所有三角形的内角和，图②多边形的内角和等于所有三角形的内角和减去一个平角的度数．

解答：解：（1）三角形时只有一个三角形，
四边形时，有2个三角形，
五边形时，有3个三角形，
n边形时，有（n-2）个三角形；

（2）图②共分成了（n-1）个三角形；

（3）图①，多边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和，为（n-2）•180°，
图②，多边形的内角和等于这（n-1）个三角形的内角和再减去以点P为顶点的平角的度数，为（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°．

点评：本题考查了多边形的对角线，多边形的内角，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键．