Question

13、能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着5个数？

Answer 1

分析：此题应该用反证法说明，假设可以这样排放，则偶数占据的位置和奇数占据的位置应该都为5个，但实际是不可能的，据此推翻假设，从而得证．

解答：解：将10个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有5个．
假设可以排放：
因为偶数之间有偶数个位置，所以一个偶数占据一个黑点和一个白色，
奇数之间有奇数个位置，一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．
于是2个偶数，占据白点A1=2个，黑色B1=2个．
3个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=3．
因此，共占白色A=A1+A2=2+2a个．
黑点B=B1+B2=2+2b个，
由于a+b=3（非偶数！）
∴a≠b，从而得A≠B．这与黑、白点各有5个矛盾．
故这种排法不可能．

点评：此题考查整数的奇偶性的问题，利用了反证法求证，此法可以推广到“两个n之间夹着n个数”的证法．